Função Exponencial

Toda relação de dependência, em que uma incógnita depende do valor da outra, é denominada função. A função denominada como exponencial possui essa relação de dependência e sua principal característica é que a parte variável representada por x se encontra no expoente. Observe:

y = 2 ^x
y = 3 ^{x + 4}
y = 0,5 ^x
y = 4 ^x

A lei de formação de uma função exponencial indica que a base elevada ao expoente x precisa ser maior que zero e diferente de um, conforme a seguinte notação:

                                    f: R→R tal que y = a ^x, sendo que a > 1 ou 0 < a < 1.

Uma função pode ser representada através de um gráfico, e no caso da exponencial, temos duas situações: a > 1 e 0 < a < 1. Observe como os gráficos são constituídos respeitando as condições propostas:

                                       

Uma função exponencial é utilizada na representação de situações em que a taxa de variação é considerada grande, por exemplo, em rendimentos financeiros capitalizados por juros compostos, no decaimento radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento de bactérias e micro-organismos, crescimento populacional entre outras situações. As funções exponenciais devem ser resolvidas utilizando, se necessário, as regras envolvendo potenciação.

Vamos apresentar alguns exemplos envolvendo o uso de funções exponenciais.

Exemplo 1

(Unit-SE) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v₀ * 2 ^–0,2t, em que v₀ é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi comprada.
Temos que v(10) = 12 000, então:

v(10) = v₀ * 2 ^–0,2*10

12 000 = v₀ * 2 ^–2

12 000 = v₀ * 1/4

12 000 : 1/ 4 = v₀

v₀ = 12 000 * 4

v₀ = 48 000

 

A máquina foi comprada pelo valor de R$ 48 000,00.



Exemplo 2

(EU-PI) Suponha que, em 2003, o PIB (Produto Interno Bruto) de um país seja de 500 bilhões de dólares. Se o PIB crescer 3% ao ano, de forma cumulativa, qual será o PIB do país em 2023, dado em bilhões de dólares? Use 1,03²⁰ = 1,80.

Temos a seguinte função exponencial

P(x) = P₀ * (1 + i)^t

P(x) = 500 * (1 + 0,03)²⁰

P(x) = 500 * 1,03²⁰

P(x) = 500 * 1,80

P(x) = 900

O PIB do país no ano de 2023 será igual a R$ 900 bilhões.
 

Equação Exponencial

Equação exponencial é toda aquela que apresenta incógnita no expoente. Veja alguns exemplos.



Vamos resolver algumas equações exponenciais cujos dois membros podem ser reduzidos à mesma base.



Algumas equações exponenciais não poderão ser reduzidas a bases iguais, nesses casos, deveremos usar o método da substituição, exemplificado na sequência.

Estudo do Sinal - Função Quadrática

Voltamos galera, e hoje com assunto novo, mas bem fácil. Vamos lá?!

Sempre que estamos resolvendo uma equação do 2° grau, é possível que esta possua duas raízes, uma raiz ou não possua raízes reais. Resolvendo uma equação da forma ax² + bx + c = 0, utilizando a Fórmula de Bhaskara, podemos visualizar as situações em que cada uma ocorre. A fórmula de Bhaskara é definida por:

x = – b ± √? , onde ? = b² – 4.a.c
2.a                        

Então, se ? < 0, isto é, se ? for um número negativo, será impossível encontrar √?. Dizemos então que, se ? > 0, logo a equação não possui raízes reais.

 

Caso tenhamos ? = 0, isto é, se ? for nulo, então √? = 0. Dizemos então que, se ? = 0, a equação possui apenas uma raiz real ou ainda podemos dizer que possui duas raízes idênticas.

 

Caso tenhamos ? > 0, isto é, se ? for um número positivo, então √? terá um valor real. Dizemos então que, se ? > 0, logo a equação possui duas raízes reais distintas.

 

Vale lembrar que em uma função do 2° grau, o gráfico terá o formato de uma parábola. Essa parábola terá concavidade para cima (U) se o coeficiente a que acompanha o x² for positivo. Mas terá concavidade para baixo (∩) se esse coeficiente for negativo.

 

Tome uma função do 2° grau qualquer do tipo f(x) = ax² + bx + c. Vejamos como essas relações podem interferir no sinal de uma função do 2° grau.

 

1°) ? < 0

 

Caso o ? da função do 2° grau resulte em um valor negativo, não há um valor de x, tal que f(x) = 0. Portanto, a parábola não toca o eixo x.

Quando o delta for negativo, a parábola não tocará o eixo x

2°) ? = 0

 

Caso o ? da função do 2° grau resulte em zero, então há apenas um valor de x, tal que f(x) = 0. Portanto, a parábola toca o eixo x em um único ponto.

 

Quando o delta for zero, a parábola tocará o eixo x em um único ponto

3°) ? > 0

 

Caso o ? da função do 2° grau resulte em um valor positivo, então há dois valores de x, tal que f(x) = 0. Portanto, a parábola toca o eixo x em dois pontos.

Quando o delta for positivo, a parábola tocará o eixo x em dois pontos

Vejamos alguns exemplos em que deveremos determinar o sinal de uma função do 2° grau em cada item:

1) f(x) = x2 – 1 ? = b2 – 4 . a . c ? = 02 – 4 . 1 . (– 1) ? = 4 ?x1 = 1; x2 = – 1	A parábola toca o eixo x nos pontos x = 1 e x = – 1
Essa é uma parábola com concavidade para cima e que toca o eixo x nos pontos – 1 e 1.   f(x) > 0 para x < – 1 ou x > 1 f(x) = 0 para x = – 1 ou x = 1 ?f(x) < 0 para 1 < x < 1
2) f(x) = – x2 + 2x – 1 ? = b2 – 4 . a . c ? = 22 – 4 . (– 1) . (– 1) ? = 4 – 4 = 0 ?x1 = x2 = – 1	A parábola toca o eixo x apenas no ponto x = – 1
Essa é uma parábola com concavidade para baixo e que toca o eixo x no ponto – 1.   f(x) = 0 para x = – 1 f(x) < 0 para x ≠ – 1

3) f(x) = x2 – 2x + 3 ? = b2 – 4 . a . c ? = (–2)2 – 4 . 1 . 3 ? = 4 – 12 = – 8 ? Não existe raiz real.	A parábola não toca o eixo x
Essa é uma parábola com concavidade para cima e que não toca o eixo x. f(x) > 0 para todo x real

Estudo do Sinal - Função Afim

Oi gente! Voltamos hoje com mais um assunto, o estudo do sinal da função afim, ou função do 1º grau. Vamos lá?!
 
No estudo do sinal da função afim, buscamos os intervalos nos quais a função possui certas características. Lembrando que os valores das funções dependem unicamente da sua variável e da sua lei de formação.
A forma geral de uma função do 1º grau dá-se da seguinte maneira:

 

Teremos duas situações a serem analisadas, quanto ao sinal dessa função.
a > 0: Função crescente.
 
                                             
 
 
Temos que o valor para x=r consiste na raiz da função, ou seja, no zero da função. Partindo desse zero podemos analisar os dois possíveis sinais de uma função (positivo e negativo).
Note no gráfico que:

 

Caso você não queira construir todo o gráfico, basta encontrar o zero da função e analisar o sinal da função na reta dos reais da variável x. Para isso, use um macete, mostrado a seguir:

 

 
 Note que os sinais (positivo e negativo) representam o valor da função naqueles intervalos. 

ca= contrário de a
ma = mesmo sinal de a


a < 0: Função decrescente.

Na função decrescente, quanto maior for o valor de x, menor será o valor de y (ou f(x)), ou seja, o valor da função decresce conforme o valor da variável x aumenta. Sendo assim, a análise do sinal da função será diferente.
Vejamos a representação gráfica de uma função decrescente:

Analisando o gráfico, temos que:

Pelo macete, temos:

 

Por hoje é só, pessoal! Até a próxima, bons estudos!

Função Quadrática

Oi gente! Voltamos, e hoje, com um dos primeiros assuntos da nossa terceira unidade, função quadrática. Vamos lá?!

                                                                     Definição

    Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0.
    Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:

1. f(x) = 3x² - 4x  + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1
2. f(x) = x² -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1
3. f(x) = 2x² + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5
4. f(x) = - x² + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0
5. f(x) = -4x², onde a = - 4, b = 0 e c = 0

                                                                   Gráfico

    O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax² + bx + c, com a 0, é uma curva chamada parábola.

Exemplo:

    Vamos construir o gráfico da função y = x² + x:
    Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.

x y -3 6 -2 2 -1 0 0 0 1 2 2 6

    Observação:

   Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax² + bx + c, notaremos sempre que:

• se   a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;
• se   a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;

                                                     Zero e Equação do 2º Grau

    Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax² + bx + c , a 0, os números reais x tais que f(x) = 0.

    Então as raízes da função f(x) = ax² + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:

    Temos:

                    

Observação:

   A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando ,  chamado discriminante, a saber:

• quando  é positivo, há duas raízes reais e distintas;
• quando  é zero, há só uma raiz real (para ser mais preciso, há duas raízes iguais);
• quando  é negativo, não há raiz real.

Exercício de Fixação - Radiciação

Questão 1:  Resolva a expressão:

Solução:

Assim como em uma expressão numérica, vamos começar a resolver essa expressão pelas raízes quadradas que estão dentro dos parênteses:

3

Como a raiz cúbica de 27 é 3, podemos concluir que o resultado da expressão  é 3.

Questão 2: Simplifique a expressão:

 

Solução:

Para simplificar a expressão, podemos tentar reescrever algumas das raízes quadradas:

√8 = √4.2 = √4.√2 = 2√2
√27 = √9.3 = √9.√3 = 3√3

Reescreveremos a expressão com essas raízes:

Colocando o 2 e o 3 em evidência, o resultado será:

Observe que os dois parênteses possuem o mesmo conteúdo, logo podemos colocá-los em evidência também:

Essa é a forma mais simples de escrever a expressão.

Exercícios de Fixação - Potenciação

Exercício 1: (PUC-SP) O número de elementos distintos da sequência 2⁴, 4², 4^-2 (-4)², (-2)⁴, (-2)^-4 é:

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4

Solução:

Para determinar o número de elementos distintos é suficiente que calculemos cada um deles. Assim temos:

• 2⁴ = 2 x 2 x 2 x 2 = 16
• 4² = 4 x 4 = 16
• 4^-2 = 1/ 4² = 1/16 (uso da propriedade e) do artigo sobre potenciação)
• (-4)² = (-4) x (-4) = 16 (potência par de base negativa tem como resultado um número positivo)
• (-2)⁴ = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = 16 (idem)
• (-2)^-4 = 1/(-2)⁴ = 1/16 (uso da propriedade e) do artigo sobre potenciação)

Portanto, se conclui que existem dois elementos distintos (16 e 1/16) e a resposta correta é a b).

Exercício 2: (FEI-SP) O valor da expressão A = (-2) + (-3) x (-2)^-1:(-3) é:

a) 1
b) -5/6
c) -5/3
d) -5/2

Solução:

Todos sabem, após a leitura atenta do artigo sobre potenciação – propriedade e) -, que (-2)^-1 = -1/2. Logo:

A = (-2) + (-3) x (-1/2) : (-3) = (-2) + (3/2) : (-3) = (-2) – [3/(2 x 3)]

Cancelando o 3 na expressão entre colchetes:

A = (-2) – 1/2 = (-4 – 1)/2 = -5/2

Resposta d).

Exercício 3: (FEI-SP) O valor da expressão B = 5 . 10⁸ . 4 . 10^-3 é:

a) 20⁶
b) 2 . 10⁶
c) 2 . 10⁹
d) 20 . 10^-4

Solução:

Como em um produto a ordem dos fatores não altera o resultado, podemos reescrever B como:

B = 5 . 4 . 10⁸ . 10^-3 = 20 . 10⁸ . 10^-3 = 20 . 10^8-3

Na última passagem utilizamos a propriedade b). E para finalizar, com o uso novamente da mesma propriedade:

B = 2 . 10 . 10⁵ = 2 . 10¹⁺⁵ = 2 . 10⁶

Resposta b).

Exercício 4: (PUC-SP) O valor da expressão C = (10^-3 x 10⁵) / (10 x 10⁴) é:

a) 10
b) 1000
c) 10^-2
d) 10^-3

Solução:

Novamente, pela propriedade b) vem que:

C = 10^-3+5 / 10¹⁺⁴ = 10² / 10⁵

E, pela propriedade c) temos:

C = 10^2-5 = 10^-3

Resposta d).

Exercício 5: Se 5^3a = 64, o valor de 5^-a é:

a) 1/4
b) 1/40
c) -1/4
d) 1/20

Inicialmente, observe que pela propriedade d):

5^3a = (5^a)³ e que 64 = (2²)³

Como os expoentes das potências são iguais, necessariamente também são suas bases. Ou se você preferir, extraindo-se a raiz cúbica dos termos, obtemos:

5^a = 2² = 4

Invertendo os membros da igualdade vem:

1/5^a = 1/4

E finalmente, pela propriedade e):

5^-a = 1/4

Resposta a).

Radiciação

 Oi! Hoje, vamos a nossa segunda revisão. O assunto de hoje é radiciação. Vamos lá!


 Observando as potencias, temos que:

    

    

 De modo geral, para se elevar um radical a um dado expoente, basta elevar o radicando àquele expoente. 

Exemplos:

    

                                                                   Divisão de Radicais

    Segundo as propriedades dos radicais, temos que:

    

    

    De um modo geral, na divisão de radicais de mesmo índice, mantemos o índice e dividimos os radicais: Exemplos:

     :  = 

    Se os radicais forem diferentes, devemos reduzi-los ao mesmo índice e depois efetue a operação. Exemplos: