domingo, 11 de outubro de 2015
quarta-feira, 30 de setembro de 2015
Função Exponencial
Toda relação de dependência, em que uma incógnita depende do valor da outra, é denominada função. A função denominada como exponencial possui essa relação de dependência e sua principal característica é que a parte variável representada por x se encontra no expoente. Observe:
y = 2 x
y = 3 x + 4
y = 0,5 x
y = 4 x
A lei de formação de uma função exponencial indica que a base elevada ao expoente x precisa ser maior que zero e diferente de um, conforme a seguinte notação:
f: R→R tal que y = a x, sendo que a > 1 ou 0 < a < 1.
Uma função pode ser representada através de um gráfico, e no caso da exponencial, temos duas situações: a > 1 e 0 < a < 1. Observe como os gráficos são constituídos respeitando as condições propostas:
y = 2 x
y = 3 x + 4
y = 0,5 x
y = 4 x
A lei de formação de uma função exponencial indica que a base elevada ao expoente x precisa ser maior que zero e diferente de um, conforme a seguinte notação:
f: R→R tal que y = a x, sendo que a > 1 ou 0 < a < 1.
Uma função pode ser representada através de um gráfico, e no caso da exponencial, temos duas situações: a > 1 e 0 < a < 1. Observe como os gráficos são constituídos respeitando as condições propostas:
Uma função exponencial é utilizada na representação de situações em que a taxa de variação é considerada grande, por exemplo, em rendimentos financeiros capitalizados por juros compostos, no decaimento radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento de bactérias e micro-organismos, crescimento populacional entre outras situações. As funções exponenciais devem ser resolvidas utilizando, se necessário, as regras envolvendo potenciação.
Vamos apresentar alguns exemplos envolvendo o uso de funções exponenciais.
Exemplo 1
(Unit-SE) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v0 * 2 –0,2t, em que v0 é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi comprada.
Temos que v(10) = 12 000, então:
v(10) = v0 * 2 –0,2*10
12 000 = v0 * 2 –2
12 000 = v0 * 1/4
12 000 : 1/ 4 = v0
v0 = 12 000 * 4
v0 = 48 000
Vamos apresentar alguns exemplos envolvendo o uso de funções exponenciais.
Exemplo 1
(Unit-SE) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v0 * 2 –0,2t, em que v0 é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi comprada.
Temos que v(10) = 12 000, então:
v(10) = v0 * 2 –0,2*10
12 000 = v0 * 2 –2
12 000 = v0 * 1/4
12 000 : 1/ 4 = v0
v0 = 12 000 * 4
v0 = 48 000
A máquina foi comprada pelo valor de R$ 48 000,00.
Exemplo 2
(EU-PI) Suponha que, em 2003, o PIB (Produto Interno Bruto) de um país seja de 500 bilhões de dólares. Se o PIB crescer 3% ao ano, de forma cumulativa, qual será o PIB do país em 2023, dado em bilhões de dólares? Use 1,0320 = 1,80.
Temos a seguinte função exponencial
P(x) = P0 * (1 + i)t
P(x) = 500 * (1 + 0,03)20
P(x) = 500 * 1,0320
P(x) = 500 * 1,80
P(x) = 900
O PIB do país no ano de 2023 será igual a R$ 900 bilhões.
Exemplo 2
(EU-PI) Suponha que, em 2003, o PIB (Produto Interno Bruto) de um país seja de 500 bilhões de dólares. Se o PIB crescer 3% ao ano, de forma cumulativa, qual será o PIB do país em 2023, dado em bilhões de dólares? Use 1,0320 = 1,80.
Temos a seguinte função exponencial
P(x) = P0 * (1 + i)t
P(x) = 500 * (1 + 0,03)20
P(x) = 500 * 1,0320
P(x) = 500 * 1,80
P(x) = 900
O PIB do país no ano de 2023 será igual a R$ 900 bilhões.
Equação Exponencial
Equação exponencial é toda aquela que apresenta incógnita no expoente. Veja alguns exemplos.
Vamos resolver algumas equações exponenciais cujos dois membros podem ser reduzidos à mesma base.
Algumas equações exponenciais não poderão ser reduzidas a bases iguais, nesses casos, deveremos usar o método da substituição, exemplificado na sequência.
Vamos resolver algumas equações exponenciais cujos dois membros podem ser reduzidos à mesma base.
Algumas equações exponenciais não poderão ser reduzidas a bases iguais, nesses casos, deveremos usar o método da substituição, exemplificado na sequência.
Estudo do Sinal - Função Quadrática
Voltamos galera, e hoje com assunto novo, mas bem fácil. Vamos lá?!
Quando o delta for negativo, a parábola não tocará o eixo x
Quando o delta for zero, a parábola tocará o eixo x em um único ponto
Quando o delta for positivo, a parábola tocará o eixo x em dois pontos
Sempre que estamos resolvendo uma equação do 2° grau, é possível que esta possua duas raízes, uma raiz ou não possua raízes reais. Resolvendo uma equação da forma ax2 + bx + c = 0, utilizando a Fórmula de Bhaskara, podemos visualizar as situações em que cada uma ocorre. A fórmula de Bhaskara é definida por:
x = – b ± √? , onde ? = b2 – 4.a.c
2.a
2.a
Então, se ? < 0, isto é, se ? for um número negativo, será impossível encontrar √?. Dizemos então que, se ? > 0, logo a equação não possui raízes reais.
Caso tenhamos ? = 0, isto é, se ? for nulo, então √? = 0. Dizemos então que, se ? = 0, a equação possui apenas uma raiz real ou ainda podemos dizer que possui duas raízes idênticas.
Caso tenhamos ? > 0, isto é, se ? for um número positivo, então √? terá um valor real. Dizemos então que, se ? > 0, logo a equação possui duas raízes reais distintas.
Vale lembrar que em uma função do 2° grau, o gráfico terá o formato de uma parábola. Essa parábola terá concavidade para cima (U) se o coeficiente a que acompanha o x2 for positivo. Mas terá concavidade para baixo (∩) se esse coeficiente for negativo.
Tome uma função do 2° grau qualquer do tipo f(x) = ax2 + bx + c. Vejamos como essas relações podem interferir no sinal de uma função do 2° grau.
1°) ? < 0
Caso o ? da função do 2° grau resulte em um valor negativo, não há um valor de x, tal que f(x) = 0. Portanto, a parábola não toca o eixo x.
Quando o delta for negativo, a parábola não tocará o eixo x
2°) ? = 0
Caso o ? da função do 2° grau resulte em zero, então há apenas um valor de x, tal que f(x) = 0. Portanto, a parábola toca o eixo x em um único ponto.
Quando o delta for zero, a parábola tocará o eixo x em um único ponto
3°) ? > 0
Caso o ? da função do 2° grau resulte em um valor positivo, então há dois valores de x, tal que f(x) = 0. Portanto, a parábola toca o eixo x em dois pontos.
Quando o delta for positivo, a parábola tocará o eixo x em dois pontos
Vejamos alguns exemplos em que deveremos determinar o sinal de uma função do 2° grau em cada item:
1) f(x) = x2 – 1
? = b2 – 4 . a . c
? = 02 – 4 . 1 . (– 1) ? = 4 ?x1 = 1; x2 = – 1 |  A parábola toca o eixo x nos pontos x = 1 e x = – 1 |
Essa é uma parábola com concavidade para cima e
que toca o eixo x nos pontos – 1 e 1.
f(x) > 0 para x < – 1 ou x > 1
f(x) = 0 para x = – 1 ou x = 1 ?f(x) < 0 para 1 < x < 1 | |
2) f(x) = – x2 + 2x – 1
? = b2 – 4 . a . c
? = 22 – 4 . (– 1) . (– 1) ? = 4 – 4 = 0 ?x1 = x2 = – 1 |  A parábola toca o eixo x apenas no ponto x = – 1 |
Essa é uma parábola com concavidade para baixo e
que toca o eixo x no ponto – 1.
f(x) = 0 para x = – 1
f(x) < 0 para x ≠ – 1 |
3) f(x) = x2 – 2x + 3
? = b2 – 4 . a . c
? = (–2)2 – 4 . 1 . 3 ? = 4 – 12 = – 8 ? Não existe raiz real. |  A parábola não toca o eixo x |
| Essa é uma parábola com concavidade para cima e que não toca o eixo x.
f(x) > 0 para todo x real
|
segunda-feira, 28 de setembro de 2015
Estudo do Sinal - Função Afim
Oi gente! Voltamos hoje com mais um assunto, o estudo do sinal da função afim, ou função do 1º grau. Vamos lá?!
No estudo do sinal da função afim, buscamos os intervalos nos quais a função possui certas características. Lembrando que os valores das funções dependem unicamente da sua variável e da sua lei de formação.
A forma geral de uma função do 1º grau dá-se da seguinte maneira:
Teremos duas situações a serem analisadas, quanto ao sinal dessa função.
a > 0: Função crescente.
Temos que o valor para x=r consiste na raiz da função, ou seja, no zero da função. Partindo desse zero podemos analisar os dois possíveis sinais de uma função (positivo e negativo).
Note no gráfico que:
Caso você não queira construir todo o gráfico, basta encontrar o zero da função e analisar o sinal da função na reta dos reais da variável x. Para isso, use um macete, mostrado a seguir:
Note que os sinais (positivo e negativo) representam o valor da função naqueles intervalos.
ca= contrário de a
ma = mesmo sinal de a
a < 0: Função decrescente.
Na função decrescente, quanto maior for o valor de x, menor será o valor de y (ou f(x)), ou seja, o valor da função decresce conforme o valor da variável x aumenta. Sendo assim, a análise do sinal da função será diferente.
Vejamos a representação gráfica de uma função decrescente:
Analisando o gráfico, temos que:
Pelo macete, temos:
Por hoje é só, pessoal! Até a próxima, bons estudos!
No estudo do sinal da função afim, buscamos os intervalos nos quais a função possui certas características. Lembrando que os valores das funções dependem unicamente da sua variável e da sua lei de formação.
A forma geral de uma função do 1º grau dá-se da seguinte maneira:
a > 0: Função crescente.
Temos que o valor para x=r consiste na raiz da função, ou seja, no zero da função. Partindo desse zero podemos analisar os dois possíveis sinais de uma função (positivo e negativo).
Note no gráfico que:
Caso você não queira construir todo o gráfico, basta encontrar o zero da função e analisar o sinal da função na reta dos reais da variável x. Para isso, use um macete, mostrado a seguir:
Note que os sinais (positivo e negativo) representam o valor da função naqueles intervalos.
ca= contrário de a
ma = mesmo sinal de a
a < 0: Função decrescente.
Na função decrescente, quanto maior for o valor de x, menor será o valor de y (ou f(x)), ou seja, o valor da função decresce conforme o valor da variável x aumenta. Sendo assim, a análise do sinal da função será diferente.
Vejamos a representação gráfica de uma função decrescente:
Por hoje é só, pessoal! Até a próxima, bons estudos!
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