Função Logaritmíca

Toda função definida pela lei de formação f(x) = log_ax, com a ≠ 1 e a > 0 é denominada função logarítmica de basea. Nesse tipo de função o domínio é representado pelo conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio, o conjunto dos reais.

Exemplos de funções logarítmicas:

f(x) = log₂x
f(x) = log₃x
f(x) = log_1/2x
f(x) = log₁₀x
f(x) = log_1/3x
f(x) = log₄x
f(x) = log₂(x – 1)
f(x) = log_0,5x 


Determinando o domínio da função logarítmica 

Dada a função f(x) = log_{(x – 2)} (4 – x), temos as seguintes restrições:

1) 4 – x > 0 → – x > – 4 → x < 4
2) x – 2 > 0 → x > 2
3) x – 2 ≠ 1 → x ≠ 1+2 → x ≠ 3

Realizando a intersecção das restrições 1, 2 e 3, temos o seguinte resultado: 2 < x < 3 e 3 < x < 4.

Dessa forma, D = {x ? R / 2 < x < 3 e 3 < x < 4}


Gráfico de uma função logarítmica

Para a construção do gráfico da função logarítmica devemos estar atentos a duas situações:

? a > 1

? 0 < a < 1


Para a > 1, temos o gráfico da seguinte forma:
Função crescente

Para 0 < a < 1, temos o gráfico da seguinte forma:
Função decrescente



Características do gráfico da função logarítmica y = log_ax 

O gráfico está totalmente à direita do eixo y, pois ela é definida para x > 0.

Intersecta o eixo das abscissas no ponto (1,0), então a raiz da função é x = 1.

Note que y assume todos as soluções reais, por isso dizemos que a Im(imagem) = R.


Através dos estudos das funções logarítmicas, chegamos à conclusão de que ela é uma função inversa da exponencial. Observe o gráfico comparativo a seguir:

Podemos notar que (x,y) está no gráfico da função logarítmica se o seu inverso (y,x) está na função exponencial de mesma base.

Equação Logarítmica

Uma equação logarítmica apresenta a incógnita na base do logaritmo ou no logaritmando. Lembrando que um logaritmo possui o seguinte formato:
 
loga b = x ↔ ax = b,
 
*a é a base do logaritmo, b é o logaritmando e x é o logaritmo.
 
Ao resolver equações logarítmicas, devemos ter ciência das propriedades operatórias dos logaritmos, pois elas podem facilitar o desenvolvimento dos cálculos. Há, até mesmo, algumas situações em que não é possível resolver a equação sem lançar mão dessas propriedades.

Para resolver equações logarítmicas, aplicamos os conceitos tradicionais de resolução de equações e de logaritmos até que a equação chegue a dois possíveis casos:
 
1º) Igualdade entre logaritmos de mesma base:

Se ao resolver uma equação logarítmica, chegarmos a uma situação de igualdade entre logaritmos de mesma base, basta igualar aos logaritmandos.
Exemplo:
 
loga b = loga c → b = c
 
2º) Igualdade entre um logaritmo e um número real
 
Se a resolução de uma equação logarítmica resultar na igualdade de um logaritmo e um número real, basta aplicar a propriedade básica do logaritmo:
loga b = x ↔ ax = b
 
Veja alguns exemplos de equações logarítmicas:
 
1° Exemplo:

log2 (x + 1) = 2

Vamos testar a condição de existência desse logaritmo. Para tanto, o logaritmando deve ser maior do que zero:

x + 1 > 0
x > – 1

Nesse caso, temos um exemplo do 2º caso, portanto, desenvolveremos o logaritmo da seguinte forma:
 
log2 (x + 1) = 2
22 = x + 1
x = 4 – 1
x = 3

2° Exemplo:

log5 (2x + 3) = log5 x

Testando as condições de existência, temos:

2x + 3 > 0
2x > – 3
x > – 3/2         x > 0

 
Nessa equação logarítmica, há um exemplo do 1º caso. Como há uma igualdade entre logaritmos de mesma base, devemos formar uma equação apenas com os logaritmandos:

log5 (2x + 3) = log5 x
2x + 3 = x
2x – x = – 3
x = – 3

3° Exemplo:

log3 (x + 2) – log3 (2x) = log3 5
Verificando as condições de existência, temos:

x + 2 > 0
x > – 2      2x > 0
     x > 0
 
Aplicando as propriedades do logaritmo, podemos escrever a subtração de logaritmos de mesma base como um quociente:

log3 (x + 2) – log3 (2x) = log3 5
log3 (x + 2) – log3 (2x) = log3 5

 
Chegamos a um exemplo do 1º caso, portanto devemos igualar os logaritmandos:

x + 2 = 5
2x     
x + 2 = 10x
9x = 2
x = 2/9

4° exemplo:

logx – 1 (3x + 1) = 2

Ao verificar as condições de existência, devemos analisar também a base do logaritmo:

x – 1 > 0
x > 1 3x + 1 > 0
3x > – 1
x > – 1/3

Essa equação logarítmica pertence ao 2° caso. Resolvendo-a, temos:
logx – 1 (3x + 1) = 2

(x – 1)2 = 3x + 1
x² – 2x + 1 = 3x + 1
x² – 5x = 0
x.(x – 5) = 0
x' = 0
x'' – 5 = 0
x'' = 5

Observe que pelas condições de existência (x > 1), a solução x' = 0 não é possível. Portanto, a única solução para essa equação logarítmica é x'' = 5.
 
5° exemplo:

log3 log6 x = 0

Aplicando as condições de existência, temos que x > 0 e log6 x> 0. Logo:

log3 (log6 x) = 0
30 = log6 x
log6 x = 1
61 = x
x = 6

Recadinho

Oi galera! Voltamos! Agora, na quarta unidade, com dois assuntos:  logaritmo e módulo. Vem aprender com a gente!

Beijos,
Andressa,Juliene,Lorena,Raíssa e Sarah.

Vídeo aula sobre: Parábola! (:

Vídeo feito por Sarah Maria

Lista de Atividades - Equação Exponencial

Vídeo- Aulas - Função Quadrática

                                       

                                     

Função Exponencial

Toda relação de dependência, em que uma incógnita depende do valor da outra, é denominada função. A função denominada como exponencial possui essa relação de dependência e sua principal característica é que a parte variável representada por x se encontra no expoente. Observe:

y = 2 ^x
y = 3 ^{x + 4}
y = 0,5 ^x
y = 4 ^x

A lei de formação de uma função exponencial indica que a base elevada ao expoente x precisa ser maior que zero e diferente de um, conforme a seguinte notação:

                                    f: R→R tal que y = a ^x, sendo que a > 1 ou 0 < a < 1.

Uma função pode ser representada através de um gráfico, e no caso da exponencial, temos duas situações: a > 1 e 0 < a < 1. Observe como os gráficos são constituídos respeitando as condições propostas:

                                       

Uma função exponencial é utilizada na representação de situações em que a taxa de variação é considerada grande, por exemplo, em rendimentos financeiros capitalizados por juros compostos, no decaimento radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento de bactérias e micro-organismos, crescimento populacional entre outras situações. As funções exponenciais devem ser resolvidas utilizando, se necessário, as regras envolvendo potenciação.

Vamos apresentar alguns exemplos envolvendo o uso de funções exponenciais.

Exemplo 1

(Unit-SE) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v₀ * 2 ^–0,2t, em que v₀ é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi comprada.
Temos que v(10) = 12 000, então:

v(10) = v₀ * 2 ^–0,2*10

12 000 = v₀ * 2 ^–2

12 000 = v₀ * 1/4

12 000 : 1/ 4 = v₀

v₀ = 12 000 * 4

v₀ = 48 000

 

A máquina foi comprada pelo valor de R$ 48 000,00.



Exemplo 2

(EU-PI) Suponha que, em 2003, o PIB (Produto Interno Bruto) de um país seja de 500 bilhões de dólares. Se o PIB crescer 3% ao ano, de forma cumulativa, qual será o PIB do país em 2023, dado em bilhões de dólares? Use 1,03²⁰ = 1,80.

Temos a seguinte função exponencial

P(x) = P₀ * (1 + i)^t

P(x) = 500 * (1 + 0,03)²⁰

P(x) = 500 * 1,03²⁰

P(x) = 500 * 1,80

P(x) = 900

O PIB do país no ano de 2023 será igual a R$ 900 bilhões.