domingo, 29 de novembro de 2015
quinta-feira, 26 de novembro de 2015
Vídeo aula: Domínio da função Logarítmica
Vídeo aula: Equação Logarítmica
Sarah Maria (;
terça-feira, 24 de novembro de 2015
Função Modular
Função é uma lei ou regra que associa cada elemento de um conjunto A a um único elemento de um conjunto B. O conjunto A é chamado de domínio da função e o conjunto B de contradomínio. A função modular é uma função que apresenta o módulo na sua lei de formação.
De maneira mais formal, podemos definir função modular como:
f(x) = |x| ou y = |x|
A função f(x) = |x| apresenta as seguintes características:
f(x) = x, se x≥ 0
ou
f(x) = – x, se x < 0
Essas características decorrem da definição de módulo.
Exemplo 1. Construa o gráfico da função f(x) = | –x|
Solução: primeiro vamos analisar o gráfico da função acima sem a utilização do módulo na sua lei de formação, ou seja, vamos fazer o gráfico de g(x) = – x
De maneira mais formal, podemos definir função modular como:
f(x) = |x| ou y = |x|
A função f(x) = |x| apresenta as seguintes características:
f(x) = x, se x≥ 0
ou
f(x) = – x, se x < 0
Essas características decorrem da definição de módulo.
Exemplo 1. Construa o gráfico da função f(x) = | –x|
Solução: primeiro vamos analisar o gráfico da função acima sem a utilização do módulo na sua lei de formação, ou seja, vamos fazer o gráfico de g(x) = – x
O módulo presente na lei da função faz com que a parte do gráfico que se localiza abaixo do eixo x “reflita” no momento em que toca o eixo x. Mas por quê? Simples, a parte do gráfico abaixo do eixo x representa os valores negativos de y e, como o módulo de um número é sempre um valor positivo, o gráfico de f(x) = |– x| fica:
A parte do gráfico que está azul é parte que sofreu ação do módulo.
Exemplo 2. Construa o gráfico da função f(x) = |x2 – 3x|
Solução: pela definição de módulo, temos que:
f(x) = x2 – 3x, se x≥ 0
e
f(x) = – (x2 – 3x), se x<0
Daí, segue que:
x2 – 3x = 0
x = 0 ou x = 3, logo :
Temos também que:
– (x2 – 3x) = 0
x = 0 ou x = 3
Daí, segue que:
Unindo as partes dos dois gráficos que se encontram acima do eixo x teremos o gráfico da função f(x) = |x2 – 3x|
A parte do gráfico que está azul é parte que sofreu ação do módulo.
Exemplo 2. Construa o gráfico da função f(x) = |x2 – 3x|
Solução: pela definição de módulo, temos que:
f(x) = x2 – 3x, se x≥ 0
e
f(x) = – (x2 – 3x), se x<0
Daí, segue que:
x2 – 3x = 0
x = 0 ou x = 3, logo :
Temos também que:
– (x2 – 3x) = 0
x = 0 ou x = 3
Daí, segue que:
Unindo as partes dos dois gráficos que se encontram acima do eixo x teremos o gráfico da função f(x) = |x2 – 3x|
sábado, 7 de novembro de 2015
Função Logaritmíca
Toda função definida pela lei de formação f(x) = logax, com a ≠ 1 e a > 0 é denominada função logarítmica de basea. Nesse tipo de função o domínio é representado pelo conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio, o conjunto dos reais.
Exemplos de funções logarítmicas:
f(x) = log2x
f(x) = log3x
f(x) = log1/2x
f(x) = log10x
f(x) = log1/3x
f(x) = log4x
f(x) = log2(x – 1)
f(x) = log0,5x
Determinando o domínio da função logarítmica
Dada a função f(x) = log(x – 2) (4 – x), temos as seguintes restrições:
1) 4 – x > 0 → – x > – 4 → x < 4
2) x – 2 > 0 → x > 2
3) x – 2 ≠ 1 → x ≠ 1+2 → x ≠ 3
Realizando a intersecção das restrições 1, 2 e 3, temos o seguinte resultado: 2 < x < 3 e 3 < x < 4.
Dessa forma, D = {x ? R / 2 < x < 3 e 3 < x < 4}
Gráfico de uma função logarítmica
Para a construção do gráfico da função logarítmica devemos estar atentos a duas situações:
? a > 1
? 0 < a < 1
Para a > 1, temos o gráfico da seguinte forma:
Função crescente
Exemplos de funções logarítmicas:
f(x) = log2x
f(x) = log3x
f(x) = log1/2x
f(x) = log10x
f(x) = log1/3x
f(x) = log4x
f(x) = log2(x – 1)
f(x) = log0,5x
Determinando o domínio da função logarítmica
Dada a função f(x) = log(x – 2) (4 – x), temos as seguintes restrições:
1) 4 – x > 0 → – x > – 4 → x < 4
2) x – 2 > 0 → x > 2
3) x – 2 ≠ 1 → x ≠ 1+2 → x ≠ 3
Realizando a intersecção das restrições 1, 2 e 3, temos o seguinte resultado: 2 < x < 3 e 3 < x < 4.
Dessa forma, D = {x ? R / 2 < x < 3 e 3 < x < 4}
Gráfico de uma função logarítmica
Para a construção do gráfico da função logarítmica devemos estar atentos a duas situações:
? a > 1
? 0 < a < 1
Para a > 1, temos o gráfico da seguinte forma:
Função crescente
Para 0 < a < 1, temos o gráfico da seguinte forma:
Função decrescente
Características do gráfico da função logarítmica y = logax
O gráfico está totalmente à direita do eixo y, pois ela é definida para x > 0.
Intersecta o eixo das abscissas no ponto (1,0), então a raiz da função é x = 1.
Note que y assume todos as soluções reais, por isso dizemos que a Im(imagem) = R.
Através dos estudos das funções logarítmicas, chegamos à conclusão de que ela é uma função inversa da exponencial. Observe o gráfico comparativo a seguir:
Função decrescente
Características do gráfico da função logarítmica y = logax
O gráfico está totalmente à direita do eixo y, pois ela é definida para x > 0.
Intersecta o eixo das abscissas no ponto (1,0), então a raiz da função é x = 1.
Note que y assume todos as soluções reais, por isso dizemos que a Im(imagem) = R.
Através dos estudos das funções logarítmicas, chegamos à conclusão de que ela é uma função inversa da exponencial. Observe o gráfico comparativo a seguir:
Podemos notar que (x,y) está no gráfico da função logarítmica se o seu inverso (y,x) está na função exponencial de mesma base.
Equação Logarítmica
Uma equação logarítmica apresenta a incógnita na base do logaritmo ou no logaritmando. Lembrando que um logaritmo possui o seguinte formato:
loga b = x ↔ ax = b,
*a é a base do logaritmo, b é o logaritmando e x é o logaritmo.
Ao resolver equações logarítmicas, devemos ter ciência das propriedades operatórias dos logaritmos, pois elas podem facilitar o desenvolvimento dos cálculos. Há, até mesmo, algumas situações em que não é possível resolver a equação sem lançar mão dessas propriedades.
Para resolver equações logarítmicas, aplicamos os conceitos tradicionais de resolução de equações e de logaritmos até que a equação chegue a dois possíveis casos:
1º) Igualdade entre logaritmos de mesma base:
Se ao resolver uma equação logarítmica, chegarmos a uma situação de igualdade entre logaritmos de mesma base, basta igualar aos logaritmandos.
Exemplo:
loga b = loga c → b = c
2º) Igualdade entre um logaritmo e um número real
Se a resolução de uma equação logarítmica resultar na igualdade de um logaritmo e um número real, basta aplicar a propriedade básica do logaritmo:
loga b = x ↔ ax = b
Veja alguns exemplos de equações logarítmicas:
1° Exemplo:
log2 (x + 1) = 2
Vamos testar a condição de existência desse logaritmo. Para tanto, o logaritmando deve ser maior do que zero:
x + 1 > 0
x > – 1
Nesse caso, temos um exemplo do 2º caso, portanto, desenvolveremos o logaritmo da seguinte forma:
log2 (x + 1) = 2
22 = x + 1
x = 4 – 1
x = 3
2° Exemplo:
log5 (2x + 3) = log5 x
Testando as condições de existência, temos:
2x + 3 > 0
2x > – 3
x > – 3/2 x > 0
Nessa equação logarítmica, há um exemplo do 1º caso. Como há uma igualdade entre logaritmos de mesma base, devemos formar uma equação apenas com os logaritmandos:
log5 (2x + 3) = log5 x
2x + 3 = x
2x – x = – 3
x = – 3
3° Exemplo:
log3 (x + 2) – log3 (2x) = log3 5
Verificando as condições de existência, temos:
x + 2 > 0
x > – 2 2x > 0
x > 0
Aplicando as propriedades do logaritmo, podemos escrever a subtração de logaritmos de mesma base como um quociente:
log3 (x + 2) – log3 (2x) = log3 5
log3 (x + 2) – log3 (2x) = log3 5
Chegamos a um exemplo do 1º caso, portanto devemos igualar os logaritmandos:
x + 2 = 5
2x
x + 2 = 10x
9x = 2
x = 2/9
4° exemplo:
logx – 1 (3x + 1) = 2
Ao verificar as condições de existência, devemos analisar também a base do logaritmo:
x – 1 > 0
x > 1 3x + 1 > 0
3x > – 1
x > – 1/3
Essa equação logarítmica pertence ao 2° caso. Resolvendo-a, temos:
logx – 1 (3x + 1) = 2
(x – 1)2 = 3x + 1
x² – 2x + 1 = 3x + 1
x² – 5x = 0
x.(x – 5) = 0
x' = 0
x'' – 5 = 0
x'' = 5
Observe que pelas condições de existência (x > 1), a solução x' = 0 não é possível. Portanto, a única solução para essa equação logarítmica é x'' = 5.
5° exemplo:
log3 log6 x = 0
Aplicando as condições de existência, temos que x > 0 e log6 x> 0. Logo:
log3 (log6 x) = 0
30 = log6 x
log6 x = 1
61 = x
x = 6
Recadinho
Oi galera! Voltamos! Agora, na quarta unidade, com dois assuntos: logaritmo e módulo. Vem aprender com a gente!
Beijos,
Andressa,Juliene,Lorena,Raíssa e Sarah.
domingo, 11 de outubro de 2015
quarta-feira, 30 de setembro de 2015
Função Exponencial
Toda relação de dependência, em que uma incógnita depende do valor da outra, é denominada função. A função denominada como exponencial possui essa relação de dependência e sua principal característica é que a parte variável representada por x se encontra no expoente. Observe:
y = 2 x
y = 3 x + 4
y = 0,5 x
y = 4 x
A lei de formação de uma função exponencial indica que a base elevada ao expoente x precisa ser maior que zero e diferente de um, conforme a seguinte notação:
f: R→R tal que y = a x, sendo que a > 1 ou 0 < a < 1.
Uma função pode ser representada através de um gráfico, e no caso da exponencial, temos duas situações: a > 1 e 0 < a < 1. Observe como os gráficos são constituídos respeitando as condições propostas:
y = 2 x
y = 3 x + 4
y = 0,5 x
y = 4 x
A lei de formação de uma função exponencial indica que a base elevada ao expoente x precisa ser maior que zero e diferente de um, conforme a seguinte notação:
f: R→R tal que y = a x, sendo que a > 1 ou 0 < a < 1.
Uma função pode ser representada através de um gráfico, e no caso da exponencial, temos duas situações: a > 1 e 0 < a < 1. Observe como os gráficos são constituídos respeitando as condições propostas:
Uma função exponencial é utilizada na representação de situações em que a taxa de variação é considerada grande, por exemplo, em rendimentos financeiros capitalizados por juros compostos, no decaimento radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento de bactérias e micro-organismos, crescimento populacional entre outras situações. As funções exponenciais devem ser resolvidas utilizando, se necessário, as regras envolvendo potenciação.
Vamos apresentar alguns exemplos envolvendo o uso de funções exponenciais.
Exemplo 1
(Unit-SE) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v0 * 2 –0,2t, em que v0 é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi comprada.
Temos que v(10) = 12 000, então:
v(10) = v0 * 2 –0,2*10
12 000 = v0 * 2 –2
12 000 = v0 * 1/4
12 000 : 1/ 4 = v0
v0 = 12 000 * 4
v0 = 48 000
Vamos apresentar alguns exemplos envolvendo o uso de funções exponenciais.
Exemplo 1
(Unit-SE) Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por v(t) = v0 * 2 –0,2t, em que v0 é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ 12 000,00, determine o valor que ela foi comprada.
Temos que v(10) = 12 000, então:
v(10) = v0 * 2 –0,2*10
12 000 = v0 * 2 –2
12 000 = v0 * 1/4
12 000 : 1/ 4 = v0
v0 = 12 000 * 4
v0 = 48 000
A máquina foi comprada pelo valor de R$ 48 000,00.
Exemplo 2
(EU-PI) Suponha que, em 2003, o PIB (Produto Interno Bruto) de um país seja de 500 bilhões de dólares. Se o PIB crescer 3% ao ano, de forma cumulativa, qual será o PIB do país em 2023, dado em bilhões de dólares? Use 1,0320 = 1,80.
Temos a seguinte função exponencial
P(x) = P0 * (1 + i)t
P(x) = 500 * (1 + 0,03)20
P(x) = 500 * 1,0320
P(x) = 500 * 1,80
P(x) = 900
O PIB do país no ano de 2023 será igual a R$ 900 bilhões.
Exemplo 2
(EU-PI) Suponha que, em 2003, o PIB (Produto Interno Bruto) de um país seja de 500 bilhões de dólares. Se o PIB crescer 3% ao ano, de forma cumulativa, qual será o PIB do país em 2023, dado em bilhões de dólares? Use 1,0320 = 1,80.
Temos a seguinte função exponencial
P(x) = P0 * (1 + i)t
P(x) = 500 * (1 + 0,03)20
P(x) = 500 * 1,0320
P(x) = 500 * 1,80
P(x) = 900
O PIB do país no ano de 2023 será igual a R$ 900 bilhões.
Equação Exponencial
Equação exponencial é toda aquela que apresenta incógnita no expoente. Veja alguns exemplos.
Vamos resolver algumas equações exponenciais cujos dois membros podem ser reduzidos à mesma base.
Algumas equações exponenciais não poderão ser reduzidas a bases iguais, nesses casos, deveremos usar o método da substituição, exemplificado na sequência.
Vamos resolver algumas equações exponenciais cujos dois membros podem ser reduzidos à mesma base.
Algumas equações exponenciais não poderão ser reduzidas a bases iguais, nesses casos, deveremos usar o método da substituição, exemplificado na sequência.
Estudo do Sinal - Função Quadrática
Voltamos galera, e hoje com assunto novo, mas bem fácil. Vamos lá?!
Quando o delta for negativo, a parábola não tocará o eixo x
Quando o delta for zero, a parábola tocará o eixo x em um único ponto
Quando o delta for positivo, a parábola tocará o eixo x em dois pontos
Sempre que estamos resolvendo uma equação do 2° grau, é possível que esta possua duas raízes, uma raiz ou não possua raízes reais. Resolvendo uma equação da forma ax2 + bx + c = 0, utilizando a Fórmula de Bhaskara, podemos visualizar as situações em que cada uma ocorre. A fórmula de Bhaskara é definida por:
x = – b ± √? , onde ? = b2 – 4.a.c
2.a
2.a
Então, se ? < 0, isto é, se ? for um número negativo, será impossível encontrar √?. Dizemos então que, se ? > 0, logo a equação não possui raízes reais.
Caso tenhamos ? = 0, isto é, se ? for nulo, então √? = 0. Dizemos então que, se ? = 0, a equação possui apenas uma raiz real ou ainda podemos dizer que possui duas raízes idênticas.
Caso tenhamos ? > 0, isto é, se ? for um número positivo, então √? terá um valor real. Dizemos então que, se ? > 0, logo a equação possui duas raízes reais distintas.
Vale lembrar que em uma função do 2° grau, o gráfico terá o formato de uma parábola. Essa parábola terá concavidade para cima (U) se o coeficiente a que acompanha o x2 for positivo. Mas terá concavidade para baixo (∩) se esse coeficiente for negativo.
Tome uma função do 2° grau qualquer do tipo f(x) = ax2 + bx + c. Vejamos como essas relações podem interferir no sinal de uma função do 2° grau.
1°) ? < 0
Caso o ? da função do 2° grau resulte em um valor negativo, não há um valor de x, tal que f(x) = 0. Portanto, a parábola não toca o eixo x.
Quando o delta for negativo, a parábola não tocará o eixo x
2°) ? = 0
Caso o ? da função do 2° grau resulte em zero, então há apenas um valor de x, tal que f(x) = 0. Portanto, a parábola toca o eixo x em um único ponto.
Quando o delta for zero, a parábola tocará o eixo x em um único ponto
3°) ? > 0
Caso o ? da função do 2° grau resulte em um valor positivo, então há dois valores de x, tal que f(x) = 0. Portanto, a parábola toca o eixo x em dois pontos.
Quando o delta for positivo, a parábola tocará o eixo x em dois pontos
Vejamos alguns exemplos em que deveremos determinar o sinal de uma função do 2° grau em cada item:
1) f(x) = x2 – 1
? = b2 – 4 . a . c
? = 02 – 4 . 1 . (– 1) ? = 4 ?x1 = 1; x2 = – 1 |  A parábola toca o eixo x nos pontos x = 1 e x = – 1 |
Essa é uma parábola com concavidade para cima e
que toca o eixo x nos pontos – 1 e 1.
f(x) > 0 para x < – 1 ou x > 1
f(x) = 0 para x = – 1 ou x = 1 ?f(x) < 0 para 1 < x < 1 | |
2) f(x) = – x2 + 2x – 1
? = b2 – 4 . a . c
? = 22 – 4 . (– 1) . (– 1) ? = 4 – 4 = 0 ?x1 = x2 = – 1 |  A parábola toca o eixo x apenas no ponto x = – 1 |
Essa é uma parábola com concavidade para baixo e
que toca o eixo x no ponto – 1.
f(x) = 0 para x = – 1
f(x) < 0 para x ≠ – 1 |
3) f(x) = x2 – 2x + 3
? = b2 – 4 . a . c
? = (–2)2 – 4 . 1 . 3 ? = 4 – 12 = – 8 ? Não existe raiz real. |  A parábola não toca o eixo x |
| Essa é uma parábola com concavidade para cima e que não toca o eixo x.
f(x) > 0 para todo x real
|
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